4次方程式・フェラリの解法

4次方程式・オイラーの解法の途中の

三次の項を消去した四次方程式

... (3)
から、フェラリの解法に進むことにする。

フェラリの解法のキモは、
左辺で y 二乗の完全平方式、右辺で y の完全平方式を
作ること。

(3)式を変形して

 ...(4)
(4)の両辺に、
 ...(5)
を、加えると、
 ...(6)
を得る。
(6)の右辺が完全平方式になる必要十分条件は、
 ...(7)
である。
(7)を変形すると、
 ...(8)
を得る。
この3次方程式(8)の一つの根を  とする。
もし、 ならば、
初めの四次方程式 (3)は、それと同値の方程式
 ...(9)
と、変形できて、これは解ける。

もし、 ならば、 (7)から、  であり、
初めの四次方程式 (3)は、それと同値の方程式
 ...(10)
となり、これも解ける。

ただし、二乗を根号で開く時は、中身が複素数の場合があることに注意すること。
参考 複素数の平方根、n乗根