2014年2月15日土曜日

4次方程式・フェラリの解法

4次方程式・オイラーの解法の途中の

三次の項を消去した四次方程式

y^4 + p y ^2 + q y + r = 0... (3)
から、フェラリの解法に進むことにする。

フェラリの解法のキモは、
左辺で y 二乗の完全平方式、右辺で y の完全平方式を
作ること。

(3)式を変形して

y ^ 4 = - p y ^ 2 - q y - r ...(4)
(4)の両辺に、
t y ^ 2 + t ^ 2 / 4 ...(5)
を、加えると、
( y ^ 2 + t / 2 ) ^ 2 = (t - p ) y ^ 2 - q y + ( t ^ 2 / 4 - r) ...(6)
を得る。
(6)の右辺が完全平方式になる必要十分条件は、
q ^ 2 = 4 ( t - p) ( t ^ 2 / 4 - r) ...(7)
である。
(7)を変形すると、
t ^ 3 - p t ^ 2 - 4 r t + (4 p r - q ^ 2) = 0 ...(8)
を得る。
この3次方程式(8)の一つの根を t_0 とする。
もし、t_0 <> p ならば、
初めの四次方程式 (3)は、それと同値の方程式
( y ^ 2 + t_o / 2) ^ 2 = { lbrace sqrt { t_0 - p } ~ y ~ - ~ q / { 2 sqrt { t_o - p }  } rbrace } ^ 2 ...(9)
と、変形できて、これは解ける。

もし、t_o = p ならば、 (7)から、 q = 0 であり、
初めの四次方程式 (3)は、それと同値の方程式
y ^ 4 + p y ^ 2 + r = 0 ...(10)
となり、これも解ける。

ただし、二乗を根号で開く時は、中身が複素数の場合があることに注意すること。
参考 複素数の平方根、n乗根

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