4次方程式・オイラーの解法

4次方程式
 ...(1)
で、
 ...(2)
とおいて
 ... (3)
という方程式に変形できる。
ただし、
 ...(4)
 ... (5)
 ...(6)
である。
この、係数、 p, q, r から作られる三次方程式
 ... (7)
の三根を   とする。
三次方程式の解法は、こちらとこちらを参考。

のそれぞれの二つ在る平方根の中から一つずつを取り出し
合わせて3個の平方根の積が、

 ...(8)
となる物を、平方根記号で、

 ... (9)
とする。
つまり、
 ...(10)
である。

(8)を満たす平方根が存在することは、三次方程式(7)の解と係数の関係から、
最後の定数項について
 ...(11)
であることから解る。
とすると、
4次方程式
 ...(1)
の根は、
 ... (12)
となる。