4次方程式・オイラーの解法の分析

4次方程式・オイラーの解法で
三次の項を消去して簡略された4次方程式
 ... (3)
から、突然出てきた三次方程式
 ...(7)
が出て来る理由について、分析する。

「3次方程式が、二個の三乗数をニ根とする2次方程式に導かれた」ようにならないか。

オイラーが目をつけたところは、
「4次方程式が、三個の二乗数を三根とする3次方程式に導かれる」であった。
つまり、

  ... (13)
を目指す。正確にするため
 ...(14)
とする。(C の 部分に注意)

4次方程式
 ... (3)
を、解くために u, v, w についての方程式
 ...(15)
の、一組の根(u, v, w)が見つかるとしてみる。

その後、(15)を展開していき、(14)の左辺の式で整理して、A, B, C で置き換えていく。
長い計算の後、




 ...(16)
を得る。
これをさらに、
 と  に着目して
整理すると、
 ...(17)
を得る。
ここから、強引な着想だが、(17)の項が 0 となるように、
 ...(18)
 ...(19)
 ...(20)
として、つまるところ、 A, C を(18)(19)から、
 ...(21)
とする。
さらに、(20),(21)から
 ...(22)
 ...(23)
 ...(24)
を得る。
(21),(24)を、(14)に戻して、
 ...(25)
となる。
さらに、三番目の両辺を二乗して、
 ...(26)
を得る。従って、 は、
突然出てきた三次方程式
 ...(7)
の三根である。