根号の仮面整数

 ...(1)
 ... (2)
 ...(3)
 ... (4)
である。

3次方程式
 ... (5)
は、因数分解で
 ...(6)
となり、
解
 ...(7)
を持つ。
また、3次方程式の解の公式から、

 ... (8)
 ... (9)
が、解である。
ここで解を見比べることで、(1),(2),(3),(4)が解る。

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もう少し、一般化してみよう。
3次方程式
 ... (10)
から始める。
(10)り左辺を展開していく。
 ...(11)
 ...(12)
 ...(13)
ここで二次の項は係数が0でなければ (5)の形にならない。
したがって、
 ...(14)
とする。
(14)で(10)を書き直すと、
 ...(15)
また、(14)で(13)を書き直すと、
 ...(16)
である。
ここで、3次方程式
 ...(17)
の解法に添って、(16)を解くと、まず、
 ...(18)

 ... (19)
てあり、
 ...(20)
 ...(21)
である。
(20)の両辺は整数にしたいので、f は 3の倍数となる。

また、いい遅れたが、(10) で、f は、虚数単位 i の係数であり、
(10)の左辺の右二項でできる二次方程式の解の判別式が
負の平方数であり、根号がとれることを意味しているので、
f は、自然数(正の整数)である。
つまり、

 ...(22)

 ...(23)
 ...(24)
さらに、3次方程式の解法から
 ...(24)
は、自動で整数となる。
で、
 ...(25)
 ...(26)
ここで(10)の実数解(整数解)の式(14)が、3次方程式の根の式で求まる、それは、

であり、右辺の根号がはずれて整数になることを意味している。
ただし、 e は整数、 g は自然数 ただし、平方根号の中が負にならないようにすること。

4次方程式・フェラリの解法

4次方程式・オイラーの解法の途中の

三次の項を消去した四次方程式

... (3)
から、フェラリの解法に進むことにする。

フェラリの解法のキモは、
左辺で y 二乗の完全平方式、右辺で y の完全平方式を
作ること。

(3)式を変形して

 ...(4)
(4)の両辺に、
 ...(5)
を、加えると、
 ...(6)
を得る。
(6)の右辺が完全平方式になる必要十分条件は、
 ...(7)
である。
(7)を変形すると、
 ...(8)
を得る。
この3次方程式(8)の一つの根を  とする。
もし、 ならば、
初めの四次方程式 (3)は、それと同値の方程式
 ...(9)
と、変形できて、これは解ける。

もし、 ならば、 (7)から、  であり、
初めの四次方程式 (3)は、それと同値の方程式
 ...(10)
となり、これも解ける。

ただし、二乗を根号で開く時は、中身が複素数の場合があることに注意すること。
参考 複素数の平方根、n乗根

4次方程式・オイラーの解法の分析

4次方程式・オイラーの解法で
三次の項を消去して簡略された4次方程式
 ... (3)
から、突然出てきた三次方程式
 ...(7)
が出て来る理由について、分析する。

「3次方程式が、二個の三乗数をニ根とする2次方程式に導かれた」ようにならないか。

オイラーが目をつけたところは、
「4次方程式が、三個の二乗数を三根とする3次方程式に導かれる」であった。
つまり、

  ... (13)
を目指す。正確にするため
 ...(14)
とする。(C の 部分に注意)

4次方程式
 ... (3)
を、解くために u, v, w についての方程式
 ...(15)
の、一組の根(u, v, w)が見つかるとしてみる。

その後、(15)を展開していき、(14)の左辺の式で整理して、A, B, C で置き換えていく。
長い計算の後、




 ...(16)
を得る。
これをさらに、
 と  に着目して
整理すると、
 ...(17)
を得る。
ここから、強引な着想だが、(17)の項が 0 となるように、
 ...(18)
 ...(19)
 ...(20)
として、つまるところ、 A, C を(18)(19)から、
 ...(21)
とする。
さらに、(20),(21)から
 ...(22)
 ...(23)
 ...(24)
を得る。
(21),(24)を、(14)に戻して、
 ...(25)
となる。
さらに、三番目の両辺を二乗して、
 ...(26)
を得る。従って、 は、
突然出てきた三次方程式
 ...(7)
の三根である。