二次方程式
...(1)
...(2)から、
...(3)となる A,B,C を求める問題と考える。
この変形の目的は、「与えられた二次方程式から、一次方程式の二乗という解きやすい形の方程式を求めること」である。
A,B,Cをこれから求めてみよう。
(3)を展開
...(4)Cを移項。
...(5)(1)と(5)を見比べて、任意のxについて同じ式となるには、係数A,B,Cの連立方程式
...(5),(6),(7)ができる。
補足
「任意のxについて」と書いたが、実際は二次方程式の解α,βについてだけ成立すればよい。
しかし、未知数A,B,Cの三個に対して、方程式も三個だから、xに関係なくA,B,Cは求められそうであり、「任意のxについて」も成立している。
(5)から、
...(8)となるが、正の方だけを利用することにする。つまり、
...(9)として、計算を進めよう。
(9)を(6)に代入すると、
...(10)Bを求めると((2)から、割り算できる)
...(11)(7)を移項変形し、
...(12)(12)に(11)を代入
...(13)さらに、右辺を整理、
...(14)(9), (11),(14)が、連立方程式(5),(6),(7)の解の一つである。
ところで、(3)を解くと
...(15)である。さらに、
...(16)となる。
ここに、(9), (11),(14)を代入すると、
...(17)右辺の分子二項をそれぞに整理する
...(18)分母を整理
...(19)通分し、普通の解の公式
...(20)となる。
さてここで、(8)に戻り、負の方の解を利用してみよう。
...(21)
...(22) ...(14)(再掲)となる。(21)は、(9)の負数、(22)は、(11)の負数である。
従って、(21),(22),(14)を(16)に代入しても、
(16)のブラスマイナス記号のために、同じ結果が得られることがすぐ解る。
数式作成デモ
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