二次方程式の解法2

二次方程式の解法を別の角度から検討を行う。


二次方程式

 ...(1)
 ...(2)
から、

 ...(3)
となる A,B,C を求める問題と考える。

この変形の目的は、「与えられた二次方程式から、一次方程式の二乗という解きやすい形の方程式を求めること」である。

A,B,Cをこれから求めてみよう。

(3)を展開
 ...(4)
Cを移項。
 ...(5)
(1)と(5)を見比べて、任意のxについて同じ式となるには、係数A,B,Cの連立方程式

 ...(5),(6),(7)
ができる。

補足
「任意のxについて」と書いたが、実際は二次方程式の解α,βについてだけ成立すればよい。
しかし、未知数A,B,Cの三個に対して、方程式も三個だから、xに関係なくA,B,Cは求められそうであり、「任意のxについて」も成立している。

(5)から、
 ...(8)
となるが、正の方だけを利用することにする。つまり、
 ...(9)
として、計算を進めよう。
(9)を(6)に代入すると、
 ...(10)
Bを求めると((2)から、割り算できる)
 ...(11)
(7)を移項変形し、
 ...(12)
(12)に(11)を代入
 ...(13)
さらに、右辺を整理、
 ...(14)
(9), (11),(14)が、連立方程式(5),(6),(7)の解の一つである。

ところで、(3)を解くと
 ...(15)
である。さらに、
 ...(16)
となる。
ここに、(9), (11),(14)を代入すると、
 ...(17)
右辺の分子二項をそれぞに整理する
 ...(18)
分母を整理

 ...(19)
通分し、普通の解の公式
 ...(20)
となる。

さてここで、(8)に戻り、負の方の解を利用してみよう。
 ...(21)
 ...(22)
 ...(14)(再掲)
となる。(21)は、(9)の負数、(22)は、(11)の負数である。
従って、(21),(22),(14)を(16)に代入しても、
(16)のブラスマイナス記号のために、同じ結果が得られることがすぐ解る。

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