の3根
とすると、根と係数の関係から
である。
ここで、3次方程式を解く時に途中で出て来る補助方程式を
とする。
前記事で説明したが、この補助方程式の根の一つは、
である。
(6)は、補助方程式なので、3次方程式(1)から、式の変形で求まる。
(実際、カルダノの方法ではそうして求まっている)
この式の変形は、四則演算なので、補助方程式(6)の係数は、
3次方程式(1)の係数 a,b,c,d から四則演算で求まる。
この、a,b,c,d は、(3),(4),(5)から、
(平等に含むとは、
入れ替えは順列で6通り、変わらない同じ式になるということ
これを
したがって、
補助方程式(6)の係数は、
最終的な式でも、。
ところで、(7)は、(6)の根なので、これを代入すると、
ここで、(8)をもう少し、簡略に書き、補助方程式を
と書くことにする。
(9)は補助方程式を3次方程式最終的な根
これは、どのような係数の3次方程式でも常に成り立つのである。
そして三根、
どれも平等の関係にあるので、補助方程式(9)は、根の順序を入れ替えた補助方程式
でも成り立つはずである。
これは、補助方程式の根は6種類あるということで、
その根は、前記事からも解るが
となる。これを書き直しし、
とし、補助方程式(6)を書き直すと
展開計算をする。
ところで、
なので、
となる。つまり、補助方程式は、